Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач

аким образом, пропевтическая работа, целью которой является диагностирование и устранение (если имеются) пробелов, а так же актуализация знаний с акцентом на данную интерпретацию, может быть организована с помощью задач. Основным требованием в такой задаче является построение по данным условиям графика, и обратная задача - интерпретировать данный график. При этом существенную роль играет варьирование условий в одной и той же задаче, так как это позволяет осознать влияние их в отдельности, помогает проследить динамику изменения поведения графика [4, 15].

Приведем пример такой работы.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста.

В задаче с данным условием целесообразно выбрать пункт А так, чтобы он совпадал с началом координат. Далее нужно варьировать условия, изменяя скорость, время движения, направление движения, точку отсчета пути, точку отсчета времени.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста, если известно, что он двигался со скоростью 10 км в час.

При таких условиях график останется тот же самый, здесь нужно акцентировать внимание учеников на то, что график всегда выражает три параметра: расстояние, время, скорость.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и двигался с той же скоростью. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.

В этой задаче график движения второго велосипедиста сдвигается параллельным переносом на единицу вниз. Аналогично нужно варьировать начало отсчета пути, пути и времени одновременно. Такое изменение формирует представления о местоположении точки отсчета, которое необходимо для умения моделировать данным способом задачи более сложного содержания.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и прибыл в пункт В одновременно с первым. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.

В данной задаче варьируется скорость второго велосипедиста. При изменениях такого рода формируется понимание зависимости угла наклона графика от скорости.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал из пункта В одновременно с первым, и прибыл в А когда первый прибыл в В. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.

При данных условиях формируется умение выбирать положительное направление движения. Здесь же можно поставить вопрос о времени или месте встречи велосипедистов, что даст первоначальные представления о сути метода. В данной задаче возможны еще случаи варьирования условий, но вышеуказанные составляют основу, так как остальные из них являются комбинацией первоначальных.

Итак, основополагающими являются умения выбирать точку отсчета по пути и по времени, положительное направление движения, понятие о зависимости угла наклона графика от скорости движения объекта. Достижение всего вышеуказанного происходит в процессе решения задач, подобных приведенным.

Этап обучения графическому моделированию задач на движение во многом опирается на умения, сформированные на предыдущем этапе. Но в данной части есть свои, специфические для данного этапа, особенности. Они заключаются в том, что условия, формулируемые в задаче, не позволяют однозначно построить график отдельного движущегося объекта, так как в них не задаются все те параметры, которые позволяли бы это сделать. Тем не менее, модель должна отображать существенные стороны задачи. Например, условия задачи не позволяют однозначно построить графики двух движущихся объектов, но из них ясно, что если один движется быстрее другого, то и угол наклона у него должен быть больше. Кроме того, на данном этапе нужно сформировать умение рационально строить модели. Этого можно добиться, давая при удобном случае рекомендации по построению модели. К таким рекомендациям можно отнести следующие [3]:

· если в задаче несколько объектов движутся на встречу одному, то удобнее в начало координат поместить эти несколько объектов;

· если в задаче движение начинается в какое-то определенное время суток, которое не влияет существенно на саму задачу, то при построении модели лучше полагать, что движение началось в момент времени;

· если в задаче есть динамика движения (то есть движение объектов относительно друг друга меняется), то удобнее те изменения, которые затрагивают меньшее количество графиков (например, если человека обгоняет рейсовый автобус через временной интервал, то для изображения момента встречи с идущим в другую сторону автобусом рациональнее развернуть график пешехода, чем совокупность прямых, изображающих движение рейсового автобуса).

Аккуратность чертежа хотя сама собой разумеется, но следует сделать акцент на то, что модель которая наиболее точно воспроизводит пропорции, указанные в задаче, может оказать существенную помощь в поиске решения задачи, тем более если эта задача первого типа.

Таким образом, модель становится схематичной, но, несмотря на это должна отражать существенные стороны задачи, так как это необходимое (а во многом и достаточное) условие успешности решения задачи [23].

В связи с этим необходимо обучать моделированию в данных условиях, что подразумевает под собой поэтапное движение от схематичного моделирования условий с двумя движущимися объектами к моделированию сложных условий с тремя и более движущимися объектами (например, периодическое движение рейсового автобуса). Необходимо также умение «читать» модели, то есть понимать, какой объект движется быстрее, какой раньше прибыл, где или когда они встретились. Значит, ученики должны выполнить работу по составлению моделей, по интерпретации моделей, по исправлению сознательно допущенных в ней ошибок, по составлению задач по данной модели.

Приведем примеры заданий, которые можно использовать на данном этапе.

Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Составьте модель данной задачи.

Данная задача не позволяет однозначно строить графики движения пешеходов, но подразумевает, что первый двигался быстрее, это должно быть отражено в модели. Для более хорошего освоения и закрепления можно дать еще 1-2 такие задачи.

Далее моделируемые ситуации должны усложняться, в условие должны входить 3 или более объектов, вместе с этим, как следствие возрастает количество числовых данных о вообще объем задачи, следовательно, усиливается роль анализа, умения выделить главные существенные стороны задачи.

Пешеход и велосипедист одновременно из одной точки направились навстречу всаднику. В момент, когда велосипедист встретил всадника, пешеход отставал от них на 3 км. В момент, когда пешеход встретил всадника, велосипедист обогнал пешехода на 6 км. Составьте модель данной задачи.

В этой задаче нужно выбрать положительное направление. Конечно, рациональнее выбор, при котором в положительном направлении движутся пешеход и велосипедист, но нужно показать оба случая для формирования умения рационально строить модель и понимания разновариантности. Кроме того, здесь уже три движущихся объекта, и подразумевается, но явно не сказано, что велосипедист движется быстрее пешехода.

Наращивая уровень сложности нужно дать задание подобного рода.

Идущего по дороге с постоянной скоростью человека рейсовый автобус обгоняет через каждые 7 минут, а через каждые 5 минут проходит встречный автобус. Составьте модель данной задачи.

Далее идут задачи, в которых по данной модели требуется определить числовые, или сравнительные характеристики движущегося объекта. Например, по данному рисунку определить какой объект двигался быстрее, где место встречи по отношению к началу и концу пути?

И, наконец, задания на составление задачи по модели.

Следующий этап предполагает непосредственное применение графических моделей для решения данного класса задач. В начале естественнее будет рассмотреть задачи первого типа, совместно провести анализ задачи, опираясь на графическую модель, перейти к математической модели.

Если мы рассматриваем задачи первого типа, то существенной чертой данного этапа является абстрагирование от функциональной части модели, и рассмотрение ее с позиций геометрии. То есть ученик должен уметь видеть геометрические отношения в данной модели, а так же уметь интерпретировать эти отношения в терминах данной задачи. Провести анализ задачи в данном случае означает выделить геометрический образ неизвестного, и идти от него к данным, устанавливая геометрические связи. Как правило, неизвестным бывает длина отрезка, в результате анализа задачи она выражается через данные, тем самым мы переходим к математической модели данной задачи. Строить графические модели, выделять геометрические образы неизвестных ученики умеют с предыдущих двух этапов, на этом этапе им нужно научиться проводить анализ задачи, используя графическую модель, что достигается путем выполнения упражнений. Приведем пример анализа подобной задачи и методической работы с ней.

Задача 6. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Сколько времени каждый из них находился в пути?

Ученики владеют методами построения модели. Пусть модель построена (рис. 6), перейдем к ее анализу. Введем предварительно обозначения всех точек пересечения прямых, а через точку С проведем перпендикуляр МК к оси абсцисс. В задаче требуется найти время нахождения в пути обоих пешеходов, время движения каждого после встречи известно, следовательно, неизвестным является время движения до момента встречи. Геометрическим образом неизвестного будет отрезок ВК. Заметим, что величину x мы можем выразить через подобие треугольников ВСЕ и АСР. Так как треугольники ВСЕ и АСР подобны, то (в подобных треугольниках все сходственные элементы находятся в одном отношении, ВК и КЕ - проекции сторон ВС и СЕ на сторону ВЕ в треугольнике ВСЕ, MP, AM - аналогичные проекции в треугольнике АСР). Т. е. . Далее, решая полученное уравнение, мы устанавливаем числовые данные.

В данной задаче мы установили геометрический образ неизвестного благодаря геометрическому образу точки встречи. Интерпретировать эти геометрические образы ученики умеют с предыдущего этапа. Тем не менее, работа по их выделению его неотъемлемая часть, существенно новым для данного этапа является геометрическое получение равенства . Важно, чтобы ученики поняли, что данный результат является обоснованным, что данное отношение следует из условия задачи, а использование графической модели лишь промежуточный шаг, который дает верные результаты вследствие изоморфности условию. Для этого их можно попросить ответить, опираясь на графическую модель, на следующие вопросы: что можно сказать о скоростях пешеходов, какие параметры в данной графической модели можно менять, какие остаются неизменными и сохраняется ли при этом полученное отношение? Для того, чтобы обосновать, что полученное в ходе решения уравнение является следствием условия задачи, а не данной графической модели можно привести решение, не опирающиеся на данную модель. Пусть скорость первого пешехода будет , а скорость второго пешехода будет , и пусть время, затраченное обоими до момента встречи, будет равно t. Тогда путь, пройденный первым до момента встречи, будет , а вторым - . Заметим, что второму осталось пройти до конца пути столько же, сколько прошел первый до момента встречи, а первому -- сколько прошел второй. Значит 1) , а 2) , поделим первое равенство на второе, получим искомое отношение.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10