Партия 1. На первый ход 1234 ученик дал ответ: 2б 2к.

Учитель задает вопрос: Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (таблица 4, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.

Таблица 4

Учитель делает второй ход и одновременно анализирует: Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3,4). Какие могут быть ответы?

Ученики анализируют все возможные варианты и приходят к умозаключению: Может быть три возможных ответа. Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число - 1324 (у других чисел другой ответ), ответ 1б 1к оставляет два варианта, а ответ 2к - три.

Ученик на ход 1356 дал ответ: 2к.

Учитель делает третий ход: Третий ход 3256.

Ученики вновь анализируют: Третий ход (с учетом второго) вносит полную ясность - все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в таблице 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе "реакция" на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантировал ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.

Ученик дает ответ: 2к.

С этим ответом учитель сразу отгадывает число: 2134.

Так же учитель делает замечание к этой партии: Типичная и совершенно не очевидная ошибка, которую допускают многие, кто решают эту задачу, состоит в использовании для игры чисел, содержащих только цифры 1, 2, 3,4. Логика здесь простая - раз все цифры известны, то зачем подключать новое? Однако при таком подходе задуманное число с гарантией определяется на пятом ходу (ответ 4б).

Партия 2. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 1б 3к.

Ученики анализируют и делают вывод: На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 1б 3к (таблица 5).

Учитель делает второй ход: 1256.

При этом ходе учитель получает ответ: 1б 1к.

Учитель предлагает проанализировать: Какие возможные варианты ответов могут быть на второе число?

Ученики анализируют и выдвигают гипотезу: При любом втором ходе хотя бы одна четверка чисел дает один и тот же ответ.

Учитель подводит итог: Для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ 1б 1к) сделаем третий ход 1563, а для чисел второй группы (ответ 2к) - ход 2564. Так как я получил ответ 1б 1к, я делаю ход 1563.

Учитель получает ответ: 1б 1к.

Ученики анализируют и приходят к выводу: После этого остаются две пары чисел в каждой группе, требующие еще одного хода.

Учитель делает четвертый ход: Четвертый ход 1564 полностью проясняет картину. Таким образом, вторая партия делится не более пяти ходов.

И действительно, он получает ответ: 2к.

Учитель с легкостью определяет число: 4213.

Таблица 5

Партия 3. Новая партия, вновь ход 1234, но ответ на первый ход другой: 4к.

Ученикам вновь предлагается проанализировать. И они приходят к умозаключению: В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (таблица 6).

Учитель делает второй ход: 3102.

Ученики анализируют и приходят к выводу: 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы.

Учитель подтверждает это и подводит итог: В одной группе решает ход 4153, а в другой - 2456. Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).

И действительно, на ход 4156, учитель получил ответ: 1б 2к.

Сделал новый ход: 4153.

Получил ответ: 3б.

Это и решило исход игры, учитель с легкостью отгадал число: 4123.

Таблица 6

Партия 4. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 3б.

Ученики анализируют и приходят к выводу: Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4*6=24 варианта.

Учитель предлагает рассмотреть таблицу: Рассмотрим таблицу 7а. В ее первых четырех строках б обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Что будет означать ответ 0б 0к?

Ученики делают вывод: Ответ 0б 0к оставляет выбор из трех неразгаданных чисел.

Учитель подводит итог: Для этого годится третий ход 8934 (табл.7б). При ответе 2б можно сыграть 1506 (табл.7в), а при ответе 1к - 5634 (табл.7г). Давайте разберем какие ответы могут быть на такие ситуации?

Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Во всех этих вариантах ответы получаются различные, что и помогает с легкостью определить задуманное число.

Таблица 7а

Таблица 7б

Таблица 7в

Таблица 7г

Таблица 7д

Таблица 7е

Учитель предлагает составить еще одну таблицу: Для девяти чисел с ответом 1б в табл.7а составим табл.7д (вновь б может принимать одно из значений - 8, 9, 0). Делаем третий ход 3564. Что произойдет?

Ученики приходят к выводу: Третий ход разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируется, и пятый ход завершает игру (ответ 4б).

Учитель: У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл.7а, выпишем их отдельно (таблица 7е). Какой вывод можно сделать отсюда?

Ученики: И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия делится не более пяти ходов.

И действительно, учитель делает второй ход: 1567.

Получает ответ: 2б.

Третий ход учителя (таблица 7в): 1506.

И вновь учитель получает ответ: 2б.

И теперь учитель с легкостью может назвать число: 1534.

Ученик подтверждает, что число отгадано.

Учитель подводит итог: Результаты всех рассмотренных партий собраны в таблице 8.

Таблица 8

Разобранные примеры показывают, что искусная игра в "быки и коровы" требует тонкого математического расчета.

Учитель подводит итог занятия: В игре быки и коровы были рассмотрены несколько партий с различными начальными ответами, что помогло более подробно проанализировать игру. Так же была рассмотрена игра мастермайнд. Теперь вы можете продолжить игру самостоятельно.

Замечание: Когда учащиеся начали анализировать игру, приходили к умозаключению о том, что длина партии в общем случае зависит от первого хода, поэтому они изучают сколько вариантов ответа может дать человек, который задумал число. Так как в игре крестики-нолики очень многое зависело от первого хода, то здесь учащиеся приходят к мысли о том, что нужно рассмотреть все возможные варианты ответа на первый ход гораздо быстрее.

Отметим, что если вначале первой партии ученики долго думали над вопросами учителя, то ближе к концу школьники стали отвечать быстрее и проводить анализ более правильно. Если ученики достаточно сильные, то к концу занятия они уже могут проводить анализ партий без помощи учителя. О том на сколько учащиеся поняли основные моменты занятия можно судить по тому на сколько тщательно и правильно они проводят анализ партий в конце занятия (когда играют друг с другом).