Математические игры, как средство развития логического мышления - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Математические игры, как средство развития логического мышления

читель: Сколько максимально может быть ходов?

Ученик: Это произойдет не позднее 24-го удара (24 крестика следуют друг за другом через три поля вдоль каждой вертикали и горизонтали).

Рисунок 5

Рисунок 6

Учитель: А давайте рассмотрим более общий случай. Предположим, что на доске nЧn расположен один-единственный корабль kЧ1 (k-мино). Совокупность выстрелов, гарантирующих нам попадание в этот корабль, назовем стратегией. Стратегию, содержащую минимальное число выстрелов, назовем оптимальной; число выстрелов в ней обозначим через . Для начала рассмотрим доску 4Ч4 и корабль размером 4Ч1. Сколько будет равна ?

Школьники анализируют и приходят к умозаключению: . Все семь оптимальных стратегий для доски 4Ч4 представлены на рисунке 8 (стратегии, которые совпадают при поворотах и зеркальных отражениях доски, мы не различаем). Сдвигая все выстрелы на четыре поля по вертикали и горизонтали, получаем семь стратегий на доске 10Ч10. Однако две из них являются оптимальными (рисунок.5а и 5б), причем .

Учитель: А как же будет в общем случае, для попадания в корабль kЧ1, расположенный на доске nЧn?

Школьники, подумав, вновь выдвигают гипотезу: Выстрелы должны отстоять друг от друга на k полей по вертикали и горизонтали. Это означает, что на каждой линии содержится примерно по выстрелов оптимальной стратегии, и мы получаем приближенную формулу .

Учитель подводит итог: Опытные игроки обычно действуют следующим образом. Сначала, пользуясь одной из стратегий на рисунке 5, обнаруживают единственный линкор противника. Когда с ним будет покончено, принимаются за поиск крейсеров. Теперь удары наносятся не через три поля по вертикали и горизонтали, а через два. Потопив оба крейсера, переходят к эсминцам. Когда непотопленными останутся одни катера, выбор полей ударов уже не будет иметь никакого значения, и приходится полагаться только на случай. Конечно, "легкие" корабли могут быть обнаружены и при охоте за "тяжелыми".

Итак, труднее всего обстоит дело с катерами, для нахождения которых нельзя придумать эффективной стратегии.

Поэтому при размещении собственной флотилии надо располагать все крупные корабли поплотнее, представляя противнику для поиска катеров как можно больше свободной территории.

Наиболее выгодное в этом смысле размещение показано на рисунке 7. Если даже соперник потопил все шесть наших крупных кораблей, для обнаружения четырех катеров у него имеется территория наибольшей площади - целых 60 полей (на рисунке справа от черты).

Рисунок 7

Учитель: Сейчас нам некоторые из учеников расскажут доклады, приготовленные ранее, о разных вариациях игры морской бой и некоторых интересных аспектах этой игры.

Докладчик 1: Доклад о различных досках и кораблях. Форма доски в морском бое, вид кораблей и состав флотилии особенного значения не имеют. Так, шахматисты, возможно, предпочитают играть на доске 8Ч8. Заметим, что в терминах игры "полимино" наши корабли имеют такие названия: катер - мономино, эсминец - домино, крейсер - прямо тримино, линкор - прямое тетрамино (рисунок 4). В качестве кораблей в этой игре можно использовать и другие виды полимино. На рисунке 4 представлены все девять кораблей, содержащих не более четырех клеток.

Сражение можно вести не только на море, но и на суше. Для этого доску следует разбить на две части - морскую и береговую. Противники получают в свое распоряжение три вида боевых средств - флот (корабли могут располагаться только в море), сухопутные войска (размещаются на суше) и самолеты, которые находятся как в море, так и на суше. Можно, например, использовать для игры 20 боевых единиц: во флотилию включить десять кораблей обычного морского боя, в сухопутные войска - два квадратных, два косых, два Т-и два L-тетрамино и, наконец, два прямоугольных тримино превратить в самолеты. Одно из расположений всех видов войск на доске 20Ч15 представлено на рисунке 8 (беговая часть доски на рисунке заштрихована). Как и положено, флот находится в море, а сухопутные войска дислоцированы на суше, один самолет летает над морем, другой охраняет берег.

Рисунок 8

Рисунок 9

Вот еще одна разновидность морского боя. Игра протекает на шахматных досках 8Ч8; каждый из двух игроков разбивает свою доску на четыре части произвольной формы, состоящее из одинакового количества полей - по 16 каждая. На рисунке 9. даны четыре варианта разбиения доски. Ход состоит из четырех одновременных выстрелов по полям доски, образующими произвольный квадрат 2Ч2, например б5, б6, в5, в6 (на рис.9 его поля помечены крестиками). Обстреливаемый игрок сообщает номера частей, в которые произошло попадание, не указывая при этом, какие поля каким частям принадлежат. Для наших квадратов ответы будут такие: 2, 2, 2, 3 - рис.9а; 1, 1, 2, 2 - рис.9б; 2, 2.3, 4 - рис.9в; 2, 2, 3, 3 - рис 9г. После каждого хода партнеры делают определенные выводы о возможном разбиении доски и на их основании выбирают следующий ход. Побеждает игрок, который первым определяет, на какие четыре части разбил противник свою доску.

Докладчик 2:

Я хочу рассказать о интересном "эндшпиле", в котором одна неточность сразу решает исход боя (этот пример придумал В. Чванов).

На рисунке 10 изображено положение, возникшее в процессе игры. К данному моменту обе флотилии - и наша (рисунок 10а) и противника (рисунок 10б) пострадали одинаково. У обеих потоплены линкор, один крейсер и один эсминец, продолжают сражение по одному крейсеру, по два эсминца и все четыре катера. Расположение наших кораблей противнику уже известно (на рисунке 10а они обведены пунктиром), и при своем ходе он разгромит их без промаха.

Рисунок 10

Рисунок 11

К счастью ход наш и судьба партии в наших руках. Мы должны потопить один за другим все семь кораблей, сосредоточенных в квартале 5Ч5. Для нахождения победной комбинации в этой напряженной схватке требуется прежде всего провести логический анализ ситуации.

По правилам любые два корабля отстоят друг от друга не меньше чем на одно поле. Окружим каждый корабль каймой шириной в полполя (рис.11), полученный прямоугольник назовем достройкой этого корабля. Найдем теперь площадь достроек всех семи кораблей, которые предстоит потопить. Какими они будут?

Ученики: Достройка катера - 4 клетки (2Ч2), эсминца - 6 клеток (3Ч2) и крейсера - 8 клеток (4Ч2). Общая площадь достроек составляет 36 клеток.

Докладчик2: Верно. Но площадь достройки доски (достройка с каймой в полполя) также 36 клеток, из чего следует, что угловые поля доски 5Ч5 обязательно заняты кораблями (иначе угловая площадь достройки доски "пропадает"). Передерем все возможные расположения кораблей. Сколько их будет, если повороты и зеркальные отражения доски не учитывать?

Ученики: Их всего пять (рисунок 12а - д).

Рисунок 12

Докладчик2: Проведенный анализ позволяет эффективно завершить игру. Как вы думаете, куда надо выстрелить вначале?

Ученики: Первые четыре выстрела следует произвести по углам доски 5Ч5. Как мы убедились, все они достигают цели. Если при этом три катера будут потоплены (рис.12а), то расположение остальных кораблей определяется однозначно.

Докладчик 2: Пусть потоплен только один катер (рисунок 12б, в,). Какой вывод можно сделать?

Ученики: Так как достройки кораблей плотно покрывают достройку доски, пятый и шестой выстрелы можно без риска произвести по полям а3 и е1, отстоящем на два поля от углового, занятого потопленным катером. От результата этих двух выстрелов зависит, какой из случаев - "б" или "в" - имеет место.

Докладчик2: Если выстрелы по углам привели к потоплению двух катеров (рисунок 12г, д), что можно сказать?

Ученики: Удары по полям а3 и в5 позволят сразу выяснить, какой из двух вариантов избрал противник.

Докладчик 2: Итак, после шести выстрелов мы имеем полную информацию о расположении неприятельских кораблей и следующими пятью ударами победно завершим эту напряженную битву. Рассмотренный пример показывает, что в критической ситуации от играющих в морской бой требуется не малое искусство и выдержка.

Докладчик 3: Мой доклад о залпах выстрелов. До сих пор рассказывалось о том, что каждый выстрел производится по одному полю доски. Интересной разновидностью морского боя является игра, в которой один ход состоит сразу из ряда выстрелов - ведется, так сказать, массированный огонь по неприятельскому флоту. Соперник сообщает общие результаты стрельбы, не указывая при этом, в какой корабль и на каком поле произошло попадание. Например, при трех одновременных выстрелах ответы могут быть такими: три промаха; два промаха и одно попадание; один промах и одно потопление и т.д. (последний ответ означает, что два выстрела из трех попали в один и тот же корабль и потопили его). Остальные правила игры не меняются. После каждого хода и ответа на него игроки извлекают определенную информацию о дислокации неприятельских кораблей и следующими ходами пытаются использовать ее.

В другом варианте этой игры каждому игроку разрешается одновременно производить выстрелы по стольким полям доски, сколько у него еще осталось непотопленных кораблей. Обстреливаемый игрок вновь сообщает стреляющему только общее число попаданий, потоплений и промахов. При обычной флотилии из десяти кораблей первый ход состоит из девяти выстрелов. Если один или несколько кораблей потоплены, то число выстрелов уменьшится. Когда все корабли пойдут на дно, игрок лишается права хода (0 выстрелов), но оно ему больше не нужно - бой закончился его поражением.

Рассмотрим еще одну интересную модификацию морского боя на произвольной квадратной доске. В ней также разрешается производить серии выстрелов. Будем считать, что флотилии обоих партнеров состоят из кораблей одного типа: катеров, эсминцев, крейсеров, линкоров или вообще кораблей kЧ1 (k-мино) на доске nЧn (k?n). Число k оговаривается до начала игры. Игрок может расставлять на доске любое количество кораблей, быть может, ни одного, не сообщая это число противнику.

Игра состоит всего из одного хода, который заключается в одновременном произведении выстрелов по ряду полей доски (залп выстрелов). При этом игрок получает информацию о каждом поле доски - попадание или промах (о потоплениях сообщений не делается) проанализировать ответы противника, он должен однозначно определить расположение всей его флотилии. Победителем становится игрок, залп которого содержит меньше выстрелов.

И в конце учитель подводит итог:

Мы с вами рассмотрели игру морской бой. Поиграв в нее мы сравнивали, анализировали и приходили к умозаключению о правильной стратегии этой игры, что развивает логическое мышление.

Учитель подводит итог: Итак, на занятиях посвященных морскому бою были рассмотрена обычная игра морской бой. Мы попытались найти оптимальную стратегию для выигрыша. А так же были рассмотрены различные вариации игры и некоторые интересные аспекты игры.

Замечание: Отметим, что на занятиях посвященных морскому бою школьники анализировали то, как лучше расставлять корабли, чтобы противнику было сложнее их найти и то, как нужно наносить удары по вражеской флотилии, чтобы одержать победу. Сначала был рассмотрен частный случай, как найти ленкор (4Ч1), затем учащиеся предложили рассмотреть более общий случай: корабль размером kЧ1. Проводя обобщение и анализ учащиеся должны были сформулировать гипотезу о примерном количестве выстрелов, необходимом для гарантированного попадания в корабль. То есть учащиеся переходили от поля и кораблей к формулам и обратно (абстрагирование и конкретизация).

Так же учащиеся познакомились с некоторыми вариациями игры в морской бой. Если их заинтересовала эта тема, то они могут дома самостоятельно провести анализ возможных стратегий игры. Затем, учащиеся при рассмотрении "эндшпиля" перебирают все возможные комбинации расположения семи кораблей в квартале 5Ч5 и выявляют существенные моменты этих расположений.

2.4 Отгадай слово (2ч)
В начале урока учитель рассказывает правила игры. А затем рассматривает пример: Игра "отгадай слово" впервые появилась на свет в конце 60-х годов, почти одновременно с "быками и коровами", о которой будет рассказано позже, и до сих пор пользуется большой популярностью, в нее охотно играют школьники, студенты, научные сотрудники.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10