Математические игры, как средство развития логического мышления - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Математические игры, как средство развития логического мышления

читель: Анализ центральной и боковых клеток вы сделаете дома.

Теперь учитель предлагает к обычной доске 3Ч3 всего одно поле - d1 (рисунок 1б): Чем завершается игра в этом случае?

Играя, ученики быстро приходят к умозаключению: На такой доске крестики быстро одерживают победу. Решает ход с1. Если нолики не играют b2, то, как мы знаем, они проигрывают на обычной доске 3Ч3 (дело обойдется без дополнительного поля). Если же они займут поле b2, то после b1 неизбежен следующий ход крестиков на а1 или d1 (рисунок 1б).

Учитель подчеркивает: Существует доска из 10 полей, на которой крестики фиксировано одерживают победу. А что будет происходить на доске из семи клеток, представляющей собой два ряда 4Ч1, пересекающиеся в одной из своих внутренних клеток (рисунок 1в)?

Вновь дети играют и приходят к умозаключению: Выигрыш достигается уже на третьем ходу. Первый крестик ставится на пересечении рядов, второй - на одно из соседних внутренних полей, после чего нолики беззащитны. Нетрудно убедиться, что, какова бы ни была доска с числом клеток, меньшим семи, результат игры будет ничейный.

Учитель: Вернемся к крестикам-ноликам на доске 3Ч3. Кажется забавным, но на ней можно играть в поддавки! Тому, кто первым выставит ряд из трех своих знаков, засчитывается поражение. Давайте сыграем в поддавки и проанализируем игру.

Школьники играют, а затем сравнивают обычную игру 3Ч3 и поддавки, и приходят к умозаключению: В отличие от "прямой" игры в "обратной" инициатива принадлежит ноликам. Впрочем, у крестиков имеется надежная ничейная стратегия - на первом ходу они должны занять центр и далее симметрично повторять ходы партнера.

Учитель: Давайте рассмотрим новую разновидность игры. Следующий вариант крестиков-ноликов свидетельствует о том, что даже такая маленькая доска, как 3Ч3, может служить неиссякаемым источником для изобретателей игр. От обычных правил отличие только в том, что каждый игрок при своем ходе может по желанию поставить либо крестик, либо нолик. Побеждает тот, кто первым закончит ряд из трех одинаковых знаков, причем безразлично каких. В обычной игре, да и в поддавках, если партнеры не делают грубых ошибок, партия заканчивается в ничью. Кто же выиграет в данном варианте?

Чтобы это определить школьники вновь играют, а затем вместе с учителем анализируют игру.

Учитель задает наводящие вопросы: Предположим, что первый игрок первым ходом занимает центр, b2, например, как обычно, ставит на нем крестик (рис.2а).

Рисунок 2

Ученик: Второй игрок может занять либо угловое поле, либо лежащее на стороне доски, и, чтобы не проиграть сразу, он должен поставить нолик.

Учитель: Если выбрано угловое поле а1, что будет делать первый игрок?

Ученик: Первый игрок рисует нолик в противоположной вершине с3 и куда теперь противник ни поставил крестик или нолик, он своим следующим ходом заканчивает соответственно ряд из крестиков или ноликов.

Учитель: Что будет происходить, если второй игрок занимает первым ходом боковое поле а2?

Ученик: То первый ставит нолик на одной линии с двумя имеющимися знаками, то есть на поле с2. У второго игрока нет ничего лучшего, чем поставить еще один нолик на b1, и после ответного, четвертого нолика на b3 он вынужден сдаться (рис 2а). Тем саамы, в этой игре побеждает начинающий.

Так же учитель предлагает еще один вариант игры на доске 3Ч3: Партнеры по очереди ставят на доску три своих крестика или нолика, после чего новые знаки уже не рисуются. Если за это время никто не выстроил три знака в ряд, игра продолжается. Теперь на каждом ходу игроки могут переставить один свой знак на соседнее поле по вертикали или горизонтали. Выигрывает вновь тот, кто раньше выстроит три знака в ряд. Эту игру учитель вы проанализируете дома.

Дети, проанализировав, должны прийти к умозаключению, что как в предыдущей игре, право первого хода является здесь решающим. Начинающий должен поставить свой крестик в центр доски. Если теперь нолик поставлен в углу, например, на поле а2, то первый игрок ставит крестик на b1. Ответ вынужден - b3. На это следует с3, ответ опять единственный - а1. Дебют партии закончен (рис.2б). Двумя следующими ходами первый игрок переставляет крестики с b2 на с2 и с b1 на с1 и выигрывает партию. Если на первом ходу второй игрок займет боковое поле, например b3, то первый играет а1, а второй отвечает с3, тогда первый идет а3, а противник а2. Все знаки выставлены, теперь первый игрок переставляет крестик с а1 сначала на b1, а затем на с1 и берет вверх. Если договориться, чтобы начинающий не занимал первым ходом центральное поле, то при правильной игре обоих партнеров ни один из них не сможет добиться цели, партия заканчивается в ничью.

Учитель: Конечно, в последней игре вместо крестиков и ноликов удобнее пользоваться белыми и черными шашками. Эту игру можно рассматривать как вступление в класс игр, представляющих собой гибрид крестиков-ноликов и шашек. На доске 4Ч4 такая игра называется так-тикль. Об этой игре и другой разновидности крестиков-ноликов я вам просто расскажу, по желанию, можете поиграть в нее дома.

В так-тиль каждая сторона имеет по четыре шашки (рисунок 2в). Игроки по очереди передвигают их на одну клетку по вертикали и горизонтали, и кто первым расположит три шашки в ряд, тот и выигрывает.

Вот примерная партия в так-тиль:

1. с1-с2 d1-c1.

2 b4-b3 b1-b2

3. b3-a3 (грозило 3…а4-а3) 3…а4-b4 4. а1-b1 с выигрышем, так как черные не могут воспрепятствовать маневру

5. d4-d3.

С помощью ЭВМ доказано, что так-тикль ничейная, то есть при точной игре ни одному из партнеров не удается поставить три шашки в ряд.

Дальнейшим обобщением двух последних игр является "мельница", одна из самых древних в истории человечества игр. На рис.3 изображено несколько "мельниц". Первоначальная форма доски (а) до сих пор остается самой популярной. В этом варианте. Называемом простой мельницей, у каждой стороны по девять шашек. В мельнице улитке (б) число шашек увеличивается до 12, а в шестиугольной (в) у противников по 13 шашек.

Рисунок 3

Известны так же мельница-паутина, мельница-сетка, пятиугольная мельница и др. во всех разновидностях игры правила одинаковые. Партия состоит из трех этапов. Первый этап (дебют) заключается в расстановке шашек. Игроки по очереди ставят свои шашки на любые свободные поля доски. Три шашки одного цвета, выставленные в ряд, образуют фигуру, называемую мельницей. Построив ее. Игрок снимает с доски любую шашку противника. Если одним ходом удалось соорудить две мельницы, то с доски снимают две шашки.

Второй этап (миттельшпиль) начинается после расстановки всех шашек. Теперь партнеры по очереди передвигают их вдоль линий на соседние поля. Цель прежняя - выстроить мельницу и снять с доски шашку противника.

Третий этап (эндшпиль) наступает, когда у одного из игроков остается три шашки. Теперь он получает право при очередном ходе переставлять любую из них на произвольное свободное поле доски, не обращая внимания на линии, соединяющие поля. Сооружая мельницу своими тремя шашками, он снимает шашку партнера, который ходит по обычным правилам до тех пор, пока у него не останется три шашки.

Побеждает тот, кто сумеет довести число шашек противника до двух, лишая его возможности построить мельницу. Партия может закончиться и раньше, если в какой-то момент один из партнеров не в состоянии сделать ход, то есть все его шашки зажаты. Если у обоих партнеров осталось мало шашек (например, по три) и ни один из них уже не может соорудить мельницу, партия заканчивается в ничью. Заметим, что запрещается дважды использовать одну и ту же мельницу. Занимать шашками три данных поля доски можно сколько угодно раз, но шашка противника снимается только при первом построении мельницы.

Учитель подводит итог: Мы с вами на этих занятиях рассмотрели игру крестики-нолики. Попытались найти выигрышные стратегии. Дальнейшее анализирование игры вы можете продолжить самостоятельно.

Замечание: Отметим, что для того чтобы провести анализ игры школьники сначала должны были девять способов сделать первый ход объединить в группы по какому-либо признаку (занято первое поле - первая группа, занято угловое поле - вторая группа, занято боковое поле - третья группа), т.е. они должны провести сравнение и классификацию некоторых объектов. Когда школьники переходят от конкретных партий к построению дерева перебора, т.е. учащиеся должны абстрагироваться от поля, крестиков и ноликов и перейти к математической модели. После того, как учитель изменил начальные условия школьники должны были самостоятельно попробовать найти самостоятельную стратегию. Предполагается, что к концу занятия ученики быстрее учатся находить ключевые моменты (первый ход, правила заполнения поля, для того чтобы не проиграть)

2.3 Морской бой (3ч)
Учитель: Многие люди знают игру "морской бой". Несмотря на внешнюю простоту, эта популярная игра и ее различные модификации содержат немало тонкостей. Классический морской бой. Начнем с самого популярного варианта морского боя, распространенного во многих странах. Каждый из двух игроков рисует на клетчатом листе бумаги две доски размером 10Ч10. На первой из них он расставляет свои корабли, а на второй разгадывает расположение кораблей противника. В состав флотилии входит десять кораблей: один линкор (корабль 4Ч1), два крейсера (3Ч1), три эсминца (2Ч1) и четыре катера (1Ч1). Корабли могут занимать любые поля доски, но не должны касаться друг друга ни сторонами, ни углами. После размещения флота игроки начинают по очереди стрелять по неприятельской территории, то есть называть поля доски - а3, б7, и9 и т.д. (горизонтали доски будем обозначать числами от 1 до 10, а вертикали - русскими буквами от а до к) после каждого выстрела игрок получает от партнера следующую информацию: "попал", если выстрел пришелся по полю с кораблем; "убил", а если это последнее поле корабля (по другим полям, занятым им, попадание произошло раньше); и наконец, "мимо", если поле пустое. В первых двух случаях игрок производит еще один выстрел, и так до первого промаха, после чего очередь хода передается партнеру. Побеждает тот, кто потопит все 10 кораблей противника. Таким образом, в данной текстовой игре шифром служит набор прямоугольников, расположенных на доске, а самим тестом - удары по ней. Обычно выстрел в морском бое обозначается точкой, а при попадании в корабль точка превращается в крестик (сам потопленный корабль обводится прямоугольником). Конечно, точка становится и на те поля, про которые уже точно известно, что они не могут входить в состав ни одного из кораблей (лежат наискосок от "подбитых" полей или окружают потопленный корабль).

Рисунок 4

Вот рассказаны правила игры, теперь можете поиграть. Разбейтесь на пары, на розданных листах, с начерченными полями рисуйте корабли и начинайте игру.

После того как партии сыграны, учитель вместе с учениками сравнивают сыгранные партии и в целом анализируют игру.

Учитель замечает: Успех в этой игре в какой-то мере зависит от везения. Можно беспорядочно наносить удары по неприятельской территории и при этом без промаха уничтожить все его корабли. Но вряд ли на это стоит рассчитывать. Если говорить об искусстве игры в морской бой, возникают два вопроса:

1) как стрелять, чтобы повысить вероятность попадания в неприятельские корабли;

2) как расставлять собственные корабли, чтобы противнику было труднее их потопить? Предположим, мы хотим попасть в неприятельский линкор. Как мы должны стрелять, чтобы сделать это как можно быстрее?

Ученики предлагают различные варианты ответа: Можно стрелять последовательно сначала по полям первой горизонтали (слева на право), затем по полям второй и т.д.

Учитель: А давайте определим после какого удара мы точно попадем в линкор?

Школьники считают и делают вывод: В худшем случае это будет на 97-ом ударе (если корабль занимает поля с ж10 по к10).

Учитель: А давайте подумаем, как делать ходы, чтобы сделать это быстрее.

Дети анализируют сыгранные партии и приходят к умозаключению: Оптимальным вариантом будет, если делать ходы так, как показано на рисунке 5а или 5б.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10