Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

ешая задачи на построение, учащиеся приобретают первые теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с наиболее употребитель-ными приемами их решения, с инструментами, исполь-зуемыми в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке, при выполне-нии построений на местности). У них развиваются пространственное воображение, конструктивные способно-сти, сообразительность, изобретательность, т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих про-фессий.

Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют лучшему усвоению учащими-ся теоретического материала, развитию их логического мышления.

Обучение геометрическим построениям в школе имело до последнего времени много недостатков. Так, уча-щиеся поздно знакомились с геометрическими построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года). Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как правило, изуча-лись построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соот-ветствовало программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках математики, чер-чения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи между приема-ми построений (на бумаге, при разметке, на местности) и использованием соответствующих инструментов.

2.2.1. Определение задачи на построение.

Задачей на построение называется предложение, ука-зывающее, по каким данным, какими средствами (инст-рументами) и какой геометрический образ (точку, пря-мую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, на-метить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удо-влетворял определенным условиям.

Будем считать средствами построения циркуль и одно-стороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инстру-ментов чертежным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.

Задача на построение может быть выражена с по-мощью чертежа-задания. Чертеж-задание включа-ет в себя данные элементы и требование задачи. Рассмот-рим примеры.

1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании В=в и высоте на основание hа (рис.6)

2. Построить окружность данного радиуса r, проходящую через две данные точки А и В (рис.7).

Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) дан-ные элементы являются уже построенными (пример 2, точки А и В), и в этом случае перемещение их по пло-скости невозможно (данные элементы определены по по-ложению); 2) данные элементы лишь могут быть постро-ены (пример 1 - отрезки а и hа, угол В, пример 2 - от-резок r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (дан-ные элементы не определены по положению).

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки - значит свести ее к конечной сово-купности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:

1) построение прямой линии через две известные точки:

Дано: Дано:

Построить треугольник Построить окружность

АВС радиуса r, проходящую

через точки А и В

Рис. 6 Рис. 7

2) построение точки пересечения двух известных пря-мых (если эта точка существует);

3) построение окружности известного радиуса с цент-ром в известной точке;

4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);

5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если такие точки существуют).

Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.

Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен.

Характеристика чертежа-задания показывает, что за-дачи на построение делятся на два существенно различ-ных вида:

Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический образ может занимать произволь-ное положение на плоскости (пример 1).

Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на осно-ве данных элементов, из которых хотя бы один определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определенное по-ложение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений.

В теории геометрических построений каждый инстру-мент выполняет свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те эле-менты чертежа, которые могут быть построены при од-нократном использовании того или иного инструмента.

Обычно на практике несколько «абстрактных» инст-рументов объединяются в один (например, чертежный треугольник является комбинацией односторонней ли-нейки, прямого и двух острых углов). Часто также один инструмент используется для выполнения двух (или не-скольких) совершенно различных операций (например, линейка используется для построения прямой, проходя-щей через две заданные точки, и общих касательных к двум данным окружностям). Это дает возможность зна-чительно сократить число используемых инструментов.

Укажем характерные операции для наиболее распро-страненных в школьной практике чертежных приборов и на те элементы чертежа, которые могут быть получены при однократном их использовании.

Циркуль. Характерная для циркуля операция - проведение окружности данным (или произвольным) ра-диусом с центром в данной (или произвольной) точке.

Таким образом, циркулем могут быть построены:

а) окружность данного радиуса с центром в данной точке (радиус может быть задан двумя точками);

б) дуга окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Линейка. Характерная операция для чертежной линейки - проведение прямой через две дан-ные точки.

На практике линей-кой пользуются также для построения к дан-ной окружности каса-тельной (рис. 8), проходящей через за-данную вне ее точку, и для построения общих внешних и внутренних касательных к двум окружностям.

Рис. 8

Теоретически эти опе-рации так же строги, как и проведение прямой через две данные точки. Практическая точность в большинстве случаев вполне удовлетворительна. Этот прием часто используется в чертежных работах и при разметке. Итак, при помощи линейки могут быть построены:

а) прямая, проходящая через две данные точки;

б) отрезок прямой, ограниченный двумя данными точками;

в) луч, проходящий через данную точку и имеющий начало в другой данной точке;

г) касательная к данной окружности, проходящая через данную вне окружности точку;

д) внешние и внутренние касательные к двум данным окружностям.

Чертежный треугольник обладает всеми свойствами односторонней линейки. Следовательно, с помощью чертежного треугольника могут быть получены те же элементы, что и с помощью линейки, а также прямая, проходящая через данную точку и образующая с данной прямой угол, равный одному из углов чертежного треугольника.

Транспортир. Характерной операцией для тран-спортира является построение точки, лежащей на луче, проходящем через данную на прямой точку и образующем заданный угол с этой прямой (рис. 9).

Рис. 9

Абстрактная характеристика каждого инструмента может быть использованы для выяснения вопроса о разрешимости задач на построение теми или ины-ми инструментами.

С этой целью в теорию геометрических построе-ний вводится понятие класса конструктивных элементов. К этому клас-су относятся все заданные элементы, а также: прямая, если она определяется двумя конструктивными точками; окружность, если она определяется конструктивным цен-тром и конструктивным радиусом (пара конструктивных точек); точка, лежащая на луче, проходящем через за-данную на конструктивной прямой точку и образующем с этой прямой заданный угол, и, наконец, точки, являю-щиеся пересечением конструктивных линий (прямых и окружностей).

Очевидно, что каждый набор инструментов имеет свой класс К конструктивных элементов.

На основании этого может быть установлен следую-щий критерий разрешимости задачи на построение.

Если искомый элемент (или элементы) принадлежит классу К, определяемому выбранным набором инстру-ментов, то задача является разрешимой при выполнении этими инструментами конечного числа операций.

Отсюда, естественно, следует, что возможность ис-пользования большого числа различных инструментов расширяет, вообще говоря, класс конструктивных эле-ментов и тем самым увеличивает число задач, допускающих точное решение.

В теории геометрических построений вопрос о необ-ходимости привлечения произвольных элементов для ре-шения (точного или приближенного) задач на построе-ние рассматривается в ряде работ; на основании тео-ремы, утверждающей, что при наличии среди заданных элементов двух различных точек класс конструктивных элементов, полученный при использовании циркуля и ли-нейки, образует счетное, всюду плотное множество, до-казывается, что любая задача на построение может быть решена при помощи циркуля и линейки без при-влечения произвольных элементов либо точно, либо при-ближенно с любой степенью точности, если среди задан-ных элементов имеются по крайней мере две различные точки.

2.2.3. Выполнение геометрических построений.

Обучение учащихся геометрическим построениям преследует две цели: обучение выполнению собственно геометрических построений и обучение решению задач на построение.

Естественно, что каждому из этих вопросов в различ-ных классах должно быть уделено различное внимание. Рассмотрим первый из них.

В VI классе основное внимание обращается на обуче-ние учащихся выполнению простейших геометрических построений и их систематическому использованию при формировании и закреплении важнейших понятий: перпендикулярность и параллельность прямых, главнейшие линии в треугольнике, симметрия относительно прямой и т. д.

К концу VI класса учащиеся должны получить уже довольно прочные навыки в решении ряда конструктив-ных задач, включенных в программу VI класса, цен-ных с практической точки зрения и необходимых для дальнейшего изучения материала.

К этим построениям относятся различные приемы построения отрезка, равного данному, масштабной линейкой или циркулем и линейкой (немасштабной); действия над отрезками (в том числе деление отрезка пополам) при помощи масштабной линейки или циркуля и линейки (немасштабной); приближенное деление угла пополам циркулем; построение угла, равному данному, транспортиром или циркулем и линейкой; построение прямого угла чертежным треугольником; действия, производимые над углами малкой, транспортиром, цирку-лем и линейкой (немасштабной); построение парал-лельных и перпендикулярных прямых различными при-емами.

Умение фактически выполнять указанные выше по-строения является совершенно необходимым условием для дальнейшего успешного обучения решению кон-структивных задач, так как только при этом условии учащиеся, решая задачи, смогут уделить внимание со-держанию и методам их решения, а не только технике выполнения самого построения.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16