Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение - рефераты, скачать рефераты, бесплатно рефераты

Рефераты. Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение

роме того, овладение рядом построений способствует лучшему усвоению новых понятий. Так, например, для усвоения таких важных понятий, как высота треугольника, симметрия относительно прямой и т.д., необходимо, чтобы учащиеся умели строить прямые углы, перпендикулярные прямые и т. д.

Правильно выполненный чертеж имеет большое зна-чение для отыскания плана решения задач на вычисление и доказательство, и наоборот, неверно выполненный чертеж часто не позволяет «увидеть» нужные соотноше-ния. Более того, неверный чертеж часто направляет мысль учащихся по неверному пути.

В VII классе перед учителем стоят более широкие задачи по изучению и использованию геометрических построений, в том числе решению задач на построение. Продолжается обучение выполнению некоторых новых построений и проводится систематическое закрепление приобретенных в VI классе умений; как и ранее, геомет-рические построения используются при формировании и закреплении геометрических понятий, а также для дока-зательства существования некоторых геометрических фигур. (Начало этой работы, доказательство существова-ния определяемых объектов, проводилось в VI классе; понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника, параллельных прямых вводились там на основе построе-ния.)

Новыми построениями для учащихся VII класса яв-ляются: построение центрально-симметричных фигур, деление отрезка на равные части, построение окружно-сти по трем ее точкам, деление дуг окружности на рав-ные часта, деление дуг и хорд окружности пополам, про-ведение касательной к окружности через данную точку.

Все эти построения, выполнение которых в большин-стве случаев основывается на материале, изученном в VI классе, используются затем при решении конструк-тивных задач. Необходимо, чтобы учащиеся умели фак-тически выполнять их при любом взаимном положении заданных элементов.

В VII классе продолжается формирование умений учащихся выбирать различные приемы построения в за-висимости от условия задачи. Так, например, перед ними может быть поставлен вопрос, каким способом они будут проводить через данную точку касательную к дан-ной окружности, если:

а) точка лежит вне окружности и центр окружности неизвестен,

б) точка лежит на окружности и центр окружности неизвестен,

в) точка лежит на окружности, а центр окружности находится вне чертежа.

Построение касательных для всех этих случаев уча-щиеся не должны заучивать. Они должны лишь пред-ставлять, как нужно поступить в зависимости от условия задачи, какие соотношения между искомыми и данными, элементами надо использовать для построения.

В VIII классе число новых построений весьма ограничено - это деление отрезка в данном отношении, по-строение фигур, подобных данным, построение углов по заданным значениям их тригонометрических функций и построение правильных многоугольников. Таким образом, основное внимание здесь уделяется закреплению ранее изученных построений и решению задач на построение.

2.2.4. О некоторых вопросах методики обучения решению задач на построение.

При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.

Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотли-вой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение - совер-шенно новый для учащихся вид работы. Во многих слу-чаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.

Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоя-тельности в отыскании решения.

С первых уроков геометрии, подводя учащихся к решению задач на построение, надо обеспечивать им неко-торую самостоятельность, а тогда, когда это необходи-мо, направить мысль учащихся на желаемый путь. Иногда, может быть, даже следует создать у учащихся иллюзию самостоятельности с тем, чтобы придать им уверенность в работе, заинтересовать их решением за-дач.

Мера самостоятельности в работе, выполняемой уча-щимися, должна определяться учителем, исходя из их возраста, подготовки, сложности решаемой задачи.

2.2.5. Введение задач на построение.

Продумывая систему работы по обучению школьников геометрическим построениям, особое внимание следует уделить методике обучения решению задач на построение.

Для подготовки учащихся к возможно более самостоятельному решению задач на построение целесооб-разно в ряде случаев вначале предлагать учащимся за-дачи подготовительного характера. Они могут быть как на построение, так и на вычисление, и на доказатель-ство. Ниже приводятся три примера использования вспомогательных задач.

Пример:

Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.

Угол АВС равен 620. Через вершину угла про-ведена прямая МN, перпендикулярная его биссек-трисе. Вычислить углы, которые образует эта пря-мая со сторонами угла.

Пример:

Через точку Р, данную внутри угла АВС, про-вести прямую, отсекающую от сторон угла равные отрезки.

Стороны угла пересечены прямой, перпендику-лярной его биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, отсекаемые этой прямой, равны.

Пример:

Две точки А и В находятся по одну сторону прямой L. На прямой L найти такую точку С, что-бы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.

Отрезок АС перпендикулярен прямой L и де-лится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой L. Доказать, что точ-ка В находится на одинаковом расстоянии от то-чек А и С.

Такая подготовительная работа важна в начале обу-чения решению задач потому, что у учащихся VI-VII классов еще очень слабы связи между различными фактами, изучаемыми в геометрии. Кроме того, на первых порах нельзя допускать нагромождения трудностей. Необходимо работу учащихся сделать насыщенной, но посильной.

Иногда полезно от решения практической задачи перейти к задаче на построение. Здесь некоторая сюжетная задача (а стало быть, более понятная) будет сведена к математической.

В некоторых случаях к одной и той же задаче полез-ло обращаться несколько раз, с тем чтобы показать уча-щимся различные способы ее решения.

В ряде случаев различные по содержанию практические задачи сводятся к одной и той же математической. Так, решение следующих двух задач сводится к реше-нию первой задачи предыдущего примера.

В каком месте следует построить переправу, чтобы расстояние от пункта А до пункта В было наименьшим (рис. 19).

Шириной реки в данном случае пренебрегаем.

Луч из источника света А отражает от экрана Е так, что отраженный луч проходит через точку В. Найти точку экрана, в которой отразился луч света.

Еще пример (первая задача - геометрическая, три последующие - практические):

Две точки А и В расположены по одну сторону прямой МN. На этой прямой найти такую точ-ку С, чтобы АСМ = ВСN.

В какую точку нужно направить луч света из точки А, чтобы он, отразившись от непрозрачного экрана а, попал в точку В (рис 20)?

Рис. 19 Рис. 20

В какую точку нужно направить упругий шар А, чтобы он, отразившись от упругой стенки, прошел через точку В (рис. 20)?

К двум точкам А и В подвешена гибкая нерастяжимая нить, на которую надето тяжелое коль-цо. Найти положение равновесия кольца на нити.

Часто оказывается, что математическая задача весь-ма проста, но если вложить в нее практическое содержа-ние, то она становится недоступной. Поэтому полезно в VI-VIII классах рассматривать с учащимися примеры того, как различные практические задачи сводятся к одной и той же математической.

Большое образовательное значение имеет ознаком-ление учащихся с приборами, применяемыми на практи-ке при решении некоторых конструктивных задач. Обычно эта работа проводится после решении соответствующих задач на построение. Так, например, после рассмотрения свойства перпендикуляра, проведенного к хорде через ее середину, учащимся предлагается найти центр изображенной на чертеже окружности (возможный порядок решения задачи дан на рис. 21 и 22).

Рис. 21

Рис. 22

2.2.6. Этапы решения задачи на построение.
Анализ.
Анализ - это важный этап решения задачи, так как здесь мы составляем план построения, по существу, находим решение. Устанавливаются такие зависимости между данными и искомыми элементами, которые дают возможность построить искомую фигуру. При обучении решению задач па построение целесообразно подчерки-вать аналогию, существующую между отысканием ре-шения задач по арифметике, алгебре и геометрии ни вычисление и доказательство и анализом задач на по-строение. Ученик не должен считать, что для нахождения решений задач на построение нужны совершенно новые приемы. Поэтому следует помочь ученикам увидеть ана-логию в применяемых приемах для отыскания решении задач на построение и задач из других дисциплин.

При решении задач по алгебре на составление и ре-шение уравнений мы устанавливаем такие зависимости между искомыми и данными величинами. Вначале вни-мательно изучается условие задачи, рассматривается смысл той или иной данной величины. Для более трудных задач используем иллюстрации в виде чертежа или схемы. Предполагая задачу решенной, мы некоторую величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной. Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии задачи, причем из многообразия различных зависимостей выби-раем те, которые позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.

Сделаем подобный анализ задачи на по-строение: «Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон».

Чтобы найти решение, нужно вначале изучить усло-вие задачи, посмотреть, какие элементы искомого тре-угольники даны. Для этого начертим произвольный тре-угольник А1В1С1 (рис. 25) и отметим элементы, соответ-ствующие данным по усло-вию. Пусть это будет сторо-на А1С1 и угол С1А1В1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нуж-но показать и разность.

Рис. 25

Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки С1 или от точки В1 либо на большей отложить меньшую и вновь отклады-вать как от точки В1, так и от точки А1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если же В1 А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон - будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможно-сти наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру С1А1Д1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16