Задача. Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).

Решение. Проведя CK||BA, решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АВ = КС), a KD = AD -- BC. Построим треугольник КCD, и, считая сторону AD построенной, дополним его до трапеции различными способами:

1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А.

Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.

2) Если провести АВ||КС и BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.

Рис. 2

3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В1 отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В1 будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.

4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В2 (рис. 2) только точка В будет искомой.

Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11].

Рис. 4

Рис. 5

Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис. 4). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой А = hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 5). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.

Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых A = hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.

Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 6). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.

Рис. 6

Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения [4].

Рис. 7

4.3. Алгебраический метод

Пример. Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Пусть ABC (рис. 8) -- данный треугольник, а, b, с -- его стороны, х, у и z -- радиусы искомых окружностей.

Рис. 8

Выразим длины отрезков х, у, z через длины известных отрезков а, b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z = a+b+c, x+y+z=(a+b+c), откуда .

Строим теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно с -- х и b -- х.

Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов (с -- х) + (b -- х) = с + b -- 2х = (с + b) -- (с + b -- а) = а = ВС, то есть равна расстоянию между их центрами.

Задача всегда однозначно разрешима, так как:

1) в треугольнике ABC b+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;

2) с>х, потому что с -- х = (так как а+с>b);

3) b>х, потому что b - х = >0 [2].

МЕТОДИКА “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИЙ” [9]

Под №1 слева написано два слова: сверху лошадь, внизу жеребенок. Какая между ними связь? Жеребенок - детеныш лошади. А справа под №1 тоже одно слово корова, а снизу 5 слов на выбор. Из них нужно выбрать только одно, которое будет так же относиться к слову корова, как жеребенок к лошади, т.е. чтобы оно обозначало детеныша коровы. Это будет теленок. Подчеркиваем слово теленок. Итак, нужно сначала установить, как связаны между собой слова, написанные слева, и затем установить такую же связь справа. Так же решаются все задачи.